Расчет деревянных балок в соответствии с EN 1995-1-1: 2004 – Structville

Расчет деревянных балок перекрытий на прогиб и прочность для строительства частного дома +Фото

Конструкция балки — базовая

ПРИМЕР ПРОЕКТИРОВАНИЯ БАЛКИ

ДЕРЕВЯННАЯ БАЛКА ДИЗАЙН ССЫЛКИ

ДЕРЕВЯННЫЕ БАЛКИ ДВУТАВОГО ТИПА

ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ БАЛОК

Это обсуждение предназначено для предоставления обзора основных требований к общей конструкции балки для любого материала. Пример расчетов для расчета основных деревянных балок.

Под балкой чаще всего понимают элемент, воспринимающий нагрузку в пространстве. Однако ключевой характеристикой является то, что балка сопротивляется нагрузке в основном при изгибе (изгибе) и сдвиге, перпендикулярном длине балки.

Напротив, колонна сопротивляется нагрузке в первую очередь при сжатии параллельно длине колонны.

Чаще всего мы видим горизонтальные лучи. Тем не менее, балки могут быть наклонными, как для двускатной крыши, или даже вертикальными, чтобы противостоять ветру. Некоторые балки также являются колоннами, например, стойки для стен.

Доступно множество источников информации, позволяющих выбрать балки, в том числе балки перекрытий. Однако, за исключением очень коротких перемычек над небольшими окнами и дверями, проектирование балок должны выполнять только квалифицированные проектировщики. Правильная конструкция балки требует учета многих факторов (таких как боковые распорки), которые часто легко упустить из виду.

См. другие страницы на этом сайте (например, «Конструкционная коньковая балка», «Конструкция для минимизации прогиба» и «Деревянный каркас для плиточного пола») для получения более подробной информации о конструкции балки.

Несколько лучей в поле зрения.

Желтая балка из искусственного дерева поддерживает балки пола (правая сторона), потолочные балки (левая сторона) и стену выше, которые также поддерживают балки пола чердака.

Для проектирования балки требуется следующая информация;

• Значения, тип (равномерные, сосредоточенные, переменные) и места расчетных нагрузок, которые должны поддерживаться
• Количество и расположение опор вдоль балки, определяющее длину пролета между опорами.
• Тип опор (шарнирные или «простые», «неподвижные», сплошные)
• Допустимые размеры (глубина или высота, ширина или толщина)
• Расстояние между боковыми раскосами сжатой кромки или фланца
• Расчетные свойства балки (сдвиг, изгиб, несущие свойства)
• Расчетная мощность опор, которая может включать в себя соединительное оборудование (например, подвеску)
• Допустимый прогиб
• Факторы проектирования, которые могут быть применимы, как указано в строительных нормах или других руководящих нормах проектирования.

Для балки, которая должна поддерживать только балки перекрытия, и прямоугольной планировки пола расчет проектной нагрузки относительно прост. Однако часто возникают осложнения, такие как несущие стены, поддерживающие верхние этажи, или тяжелое оборудование, не учитываемое в общих равномерных расчетных нагрузках.

Расчет расчетных нагрузок может быть сложным, особенно когда балка на нижнем этаже должна выдерживать нагрузки от других балок, некоторые из которых могут быть от верхних этажей.

Для общего проектирования здания руководящие строительные нормы и правила определяют «минимальные» расчетные нагрузки. Для некоторых условий применяются специальные коды конструкции. Для условий, не предусмотренных каким-либо кодом, необходимо провести тщательное изучение ожидаемых и непредвиденных событий, чтобы разработать адекватные расчетные нагрузки.

Любая балка должна иметь достаточную прочность, чтобы противостоять разрушению, и жесткость, чтобы предотвратить чрезмерное движение (прогиб). Жесткость — это обратная сторона гибкости; большая жесткость приводит к меньшей гибкости.

В целом на прочность и жесткость балки гораздо больше влияет глубина (высота), чем ширина (толщина).

Для балки с прямоугольным поперечным сечением прочность на изгиб (изгиб) является функцией квадрата (второй степени) глубины (высоты). Аналогичное, хотя и более сложное соотношение применимо к формам двутавровой балки.

При прочих равных условиях прямоугольная балка глубиной 12 дюймов имеет прочность на изгиб в 4 раза больше, чем балка глубиной 6 дюймов.

Прочность балки на изгиб зависит от «модуля сечения».

Для балки с поперечным сечением, симметричным относительно горизонтальной оси (поперечного сечения), модуль сечения одинаков при напряжении изгиба при сжатии и растяжении. Для несимметричного поперечного сечения модуль сечения различен для напряжений сжатия и растяжения при изгибе.

Большая и длинная цельная «специальная» деревянная балка (длиннолистная сосна), поддерживающая балки перекрытия и нагрузку колонны на этаж выше.

Напряжение изгиба (сжатие и растяжение) действует параллельно длине балки. В любом сечении балки напряжение изгиба изменяется по глубине. Общая формула напряжения изгиба:

Напряжение изгиба, fb = M c / I

M = изгибающий момент в сечении

c = расстояние (по вертикали) от нейтральной оси

I = момент инерции в сечении

Напряжение равно нулю на нейтральной оси (c = 0), которая находится на середине высоты прямоугольной балки или любой балки с сечением, симметричным относительно горизонтальной оси. На любом сечении максимальные напряжения изгиба (сжатия и растяжения) возникают на верхнем и нижнем краях.

В любом сечении балки максимальное напряжение изгиба (сжатие и растяжение) равно моменту (М), деленному на модуль сечения (S). Для балки с двумя простыми (шарнирными) опорами (по одной на каждом конце) и при нагрузке, действующей на балку, максимальное сжимающее напряжение возникает на нагруженной кромке или грани. Максимальное растягивающее напряжение возникает на противоположной кромке или грани. Для нагрузки, действующей от балки, направление максимальных напряжений, конечно, меняется на противоположное.

Общая формула для модуля сечения:

I = момент инерции в сечении

cmax = расстояние от нейтральной оси до верхнего или нижнего края

Как отмечалось выше, в любом поперечном сечении обычно имеется два значения модуля сопротивления; один для верхней кромки балки (S-верхняя часть; напряжение изгиба при сжатии для простой балки) и один для нижней кромки балки (S-образная нижняя часть; напряжение изгиба при растяжении для простой балки). Однако для балки с симметричным поперечным сечением каждое значение модуля сечения одинаково (S-верх = S-низ).

Для прямоугольной балки модуль сечения рассчитывается как;

H = глубина (параллельно направлению нагрузки)

Ширина (B) и глубина (H), конечно, должны быть в одних и тех же единицах измерения (обычно в дюймах). В США единицы модуля сечения обычно рассчитываются как дюймы в третьей степени (в кубе). За пределами США обычно используются единицы СИ, например, сантиметры в третьей степени.

Для сборной балки, состоящей из двух 2×10 (глубина 9-1/4 дюйма и толщина 3 дюйма), модуль сечения рассчитывается как;

S = [3″ x (9.25″)^2] / 6 = 42.8 дюйма^3

Для балки, несущей равномерную нагрузку (w) по всей длине, максимальный изгибающий момент (в середине пролета) рассчитывается как;

Единицами для равномерной нагрузки w являются сила на расстояние, например, фунты на фут (часто обозначаемые как PLF или фунты на погонный фут).

Сила реакции R (действующая в направлении, противоположном нагрузке) возникает на каждой опоре;

Момент зависит от квадрата длины пролета (L), так что требуемая сила момента увеличивается очень быстро по мере увеличения длины пролета. Например, увеличение длины пролета с 10 футов до 12 футов приводит к увеличению максимального момента на 44% (при той же равномерной нагрузке).

Единицы момента часто изначально рассчитываются в фут-фунтах (ft-lbs). Однако для расчета напряжения изгиба (M/S) единицы длины для момента должны быть такими же, как и для модуля сечения (обычно в дюймах). Поэтому момент в футо-фунтах часто приходится переводить в дюйм-фунты. Распространенной ошибкой является использование несовместимых единиц длины при расчете момента.

Полученное значение от деления момента (M) на модуль сопротивления (S) чаще всего будет в фунтах на квадратный дюйм (psi).

Длина пролета равна сумме пролета в чистоте с меньшей из величин; (1) Половина ширины опоры, такой как стена, на каждом конце или (2) Половина высоты балки на каждом конце.

Расчетное напряжение изгиба необходимо сравнить с допустимым напряжением изгиба, которое обычно определяется строительными нормами. Как правило, строительные нормы и правила ссылаются на другие нормы для каждого конкретного материала (дерево, сталь, бетон, алюминий).

Для проектирования деревянных балок руководящим кодексом проектирования является Национальная спецификация проектирования деревянных конструкций (NDS), опубликованная Американским советом по дереву. Кодекс NDS включает подробные положения, регулирующие проектирование.

Базовое допустимое напряжение изгиба для типичных пород древесины и сортов пиломатериалов (таких как пихта Дугласа, пихта Хем, пихта сосна ель) находится в диапазоне от 850 до 950 фунтов на квадратный дюйм. Однако существует множество применимых поправочных коэффициентов, которые чаще всего (хотя и не всегда) позволяют увеличить базовое допустимое напряжение.

Для неразрезной балки с более чем двумя опорами реверсирование напряжения изгиба происходит над внутренними опорами и рядом с ними; напряжение растяжения на нагруженной поверхности (для нагрузки, действующей в сторону балки) и напряжение сжатия на противоположной стороне. Это условие имеет место и для консольного сегмента любой балки.

Балка также должна сопротивляться «сдвигу», который чаще всего визуализируется в виде прорезаемой балки, как если бы она была перерезана пилой. Однако сдвиг, как правило, намного сложнее. Для деревянных балок наиболее важен «горизонтальный» сдвиг (параллельно волокнам древесины). Для железобетонных балок преобладает «диагональный» сдвиг.

Для практического проектирования деревянных балок напряжение сдвига, вызванное расчетной силой сдвига (в определенном месте вдоль балки), чаще всего сравнивают с допустимым напряжением сдвига, как это определено руководящими нормами. Для железобетонных и стальных балок расчетная сила сдвига (в любом месте вдоль балки) также сравнивается с расчетной способностью сдвига (в том же месте или на том же участке).

Расчетная сила сдвига, которой нужно сопротивляться, может быть изменена с учетом сложности поведения сдвига для конкретного материала.

Для равномерно нагруженной балки поперечная сила изменяется с постоянной скоростью по длине балки, при этом математический знак (положительный или отрицательный) меняется от одного конца к другому. Сдвиг равен нулю в середине пролета.

Перерезывающая сила резко изменяется при сосредоточенных («точечных») нагрузках.

Для свободно опертой балки с двумя опорами базовая расчетная (максимальная) сила сдвига представляет собой силу «реакции», возникающую на каждой концевой опоре. Это может быть немного уменьшено, чтобы учесть благоприятные эффекты сжатия вблизи опоры в соответствии с положениями норм. Однако для практического проектирования чаще всего используется полная сила реакции.

Среднее напряжение сдвига — это просто расчетная сила сдвига, деленная на площадь «стенки» балки, которая обычно является частью поперечного сечения с длинным размером, параллельным направлению силы. Для деревянных балок и бетонных балок с прямоугольным поперечным сечением стенка такая же, как и поперечное сечение. Однако для двутавровых балок (дерево, сталь, предварительно напряженный бетон) полки обычно не включаются в стенку.

Для деревянной балки с прямоугольным поперечным сечением расчетное касательное напряжение равно умноженному на 1.5 (3/2) среднему касательному напряжению, которое учитывает фактическое распределение касательного напряжения в поперечном сечении, которое изменяется от нуля на свободной кромке до максимального на нейтральная ось. Умножение основного напряжения сдвига на коэффициент 1.5 часто упускается из виду.

Существенным, но часто упускаемым из виду требованием к любой балке, особенно длинной, является адекватная боковая распорка. Без надлежащего крепления балка выйдет из строя из-за коробления вбок задолго до разрушения при изгибе или сдвиге. Такое выпучивание похоже на то, как выходит из строя несвязанный сжатый элемент (колонна).

Сжатая кромка (полка для стального двутавра) должна быть раскреплена от бокового смещения. Как правило, это может быть достигнуто путем соединения элементов каркаса (балки) или настила. Однако проектировщик должен указать положительное соединение, а не просто предположить его.

Допустимое расчетное напряжение при изгибе снижается, когда расстояние между боковыми связями превышает максимально допустимое для использования полного допустимого расчетного напряжения. Однако при некотором значении расстояния допустимое напряжение равно нулю. Расчет допустимого изгибающего напряжения для различных расстояний боковых связей выполняется по стандартным формулам, указанным в действующих нормах проектирования.

При проектировании балок, подверженных реверсированию нагрузки, например, балки крыши, которая должна сопротивляться подъему ветром, необходимо тщательно продумать боковые связи. Нижняя кромка растяжения для гравитационной (нисходящей) нагрузки затем становится кромкой сжатия для восходящей нагрузки. Однако, поскольку нет подходящего настила крыши для крепления нижнего края, необходимо предусмотреть какой-либо другой метод бокового крепления или балка должна иметь достаточную прочность без бокового крепления.

Временные связи часто должны быть установлены во время строительства. Такое крепление может быть необходимо для бокового крепления кромки сжатия. Также может потребоваться крепление для предотвращения опрокидывания одной или нескольких балок.

Ключевым требованием, которое также упускают из виду, является то, что сама распорка также должна быть скреплена каким-либо прочным строительным элементом. Целые системы крыши и пола рухнули во время строительства из-за того, что строитель не смог должным образом закрепить каждую линию боковых распорок.

Пример конструкции балки

Прямоугольная деревянная балка предназначена для поддержки только балок первого этажа (без несущих стен и других нагрузок). Балка должна просто поддерживаться на каждом конце опорными стенками (2x4s). Расстояние в чистоте между опорными стенами составляет 14 футов. Тогда длина пролета составляет 14.3 фута.

Длина пролета балки составляет 10 футов с одной стороны и 16 футов с другой стороны. Равномерные расчетные нагрузки составляют постоянную нагрузку 10 фунтов на квадратный фут и постоянную нагрузку 40 фунтов на квадратный фут. Затем рассчитывается общая расчетная нагрузка;

Расчетная нагрузка на балку = (10 фунтов на квадратный фут + 40 фунтов на квадратный фут) (10 футов / 2 + 16 футов / 2)

= 50 фунтов на квадратный фут x 13 футов

Также необходимо учитывать вес балки. Для первоначального проектирования предположим, что вес балки равен 20 PLF.

В общем, прочность проверяется на полную нагрузку. Прогиб обычно проверяется только для динамической нагрузки и для полной нагрузки.

Силы сначала рассчитываются для полной нагрузки;

Реакция (с каждого конца), R = 670 PLF (14.3 фута / 2) = 4,791 фунт

Момент (средний пролет), M = 670 PLF (14.3 фута) ^ 2 / 8 = 17,126 XNUMX футо-фунтов

Момент преобразуется в 205 513 дюймов-фунтов.

Поправочные коэффициенты не применяются.

Для допустимого напряжения изгиба 900 фунтов на квадратный дюйм требуемый модуль упругости сечения рассчитывается как;

Требуемое S = 205,513 900 дюймов-фунтов / 228 фунтов на кв. дюйм = 3 дюймов^XNUMX

Требуемая глубина (h) может быть рассчитана для заданной толщины с помощью элементарной алгебры. На практике модуль сечения стандартных размеров балки проверяется для определения требуемого размера. Для сборной деревянной балки, использующей 2x12s, модуль сопротивления рассчитывается для балки 2-2x12s и 4-2x12s;

Модуль упругости сечения (2-2×12 с), S = 3 дюйма (11.25 дюйма) ^ 2 / 6 = 63 дюйма ^ 3

Это явно меньше, чем требуется. Даже 6-2х12 не обладают достаточной силой. Поэтому рассматривается брус ЛВЛ (клееный брус).

Для стандартной балки Microllam LVL допустимое напряжение изгиба составляет 2600 фунтов на квадратный дюйм. Небольшая корректировка может применяться в зависимости от глубины луча (согласно формуле производителя), однако для этого примера используется базовая допустимая величина.

Требуемое S = 205,513 2600 дюймов-фунтов / 79 фунтов на кв. дюйм = 3 дюймов^XNUMX

Модуль сечения сначала рассчитывается для балки толщиной 3-1/2 дюйма и глубиной 11-1/4 дюйма (такой же, как 2×12);

S = 3.5 дюйма (11.25 дюйма)^2 / 6 = 74 дюйма^3 < 79 дюймов^3 Не подходит

Глубина или толщина балки (или и то, и другое) могут быть увеличены для увеличения модуля сечения. Для любого конкретного случая то или иное может быть ограничено функциональными требованиями. Толщину балки, возможно, придется увеличить, чтобы ограничить нагрузку на опору, особенно для относительно коротких балок или при наличии большой точечной нагрузки вблизи опоры.

Увеличение глубины луча (если это допустимо) наиболее эффективно в зависимости от количества материала. Затем рассчитывается модуль упругости для стандартной глубины LVL 11-7/8 дюймов;

S = 3.5 дюйма (11.875 дюйма) ^ 2 / 6 = 82 дюйма ^ 3 ОК

Напряжение сдвига рассчитывается для максимальной силы сдвига. Для свободно опертой балки максимальный сдвиг, возникающий на конце балки, равен концевой силе реакции. При необходимости можно рассчитать небольшое снижение, как описано ниже. Максимальное напряжение сдвига представляет собой силу сдвига, деленную на площадь поперечного сечения балки (в месте действия силы сдвига), умноженную на 1.5, как отмечалось ранее;

Напряжение сдвига, v = 1.5 (4,791 фунта / (11.875 дюйма x 3.5 дюйма))

Допустимое напряжение сдвига для Microllam LVL составляет 285 фунтов на квадратный дюйм, так что предлагаемая балка имеет достаточную прочность на сдвиг.

При необходимости для балки с равномерной нагрузкой, опирающейся снизу, расчетную поперечную силу можно принять как сдвиг, возникающий на расстоянии «d» от поверхности опоры, где «d» — глубина балки. Это положение стандартного кода снижает расчетный сдвиг на величину, равную сумме произведений равномерной нагрузки; (1) Расстояние от поверхности опоры до конца балки (в зависимости от конструкции) и (2) Глубина балки. Конечно, единицы длины для нагрузки и каждого расстояния должны быть согласованы.

Прогиб динамической нагрузки чаще всего является ключевым значением прогиба, которое необходимо проверить. Подробное обсуждение см. в разделе «Конструкция для минимизации прогиба».

Для балки LVL (11-7/8 x 3-1/2) момент инерции (I) составляет 488 дюймов^4. Модуль упругости составляет 1900 фунтов на квадратный дюйм или 1,900,000 0.48 360 фунтов на квадратный дюйм. Отклонение среднего пролета в 0.48 дюйма равно Span / XNUMX, что также составляет XNUMX дюйма.

Конечно, для многих приложений может быть более консервативный предел отклонения. В этом случае, скорее всего, потребуется более глубокая балка, если только разница (между расчетными и допустимыми значениями) не является относительно небольшой, так что может работать увеличение толщины балки.

Рекомендации по проектированию деревянных балок

«Формулы расчета балки с диаграммами сдвига и момента», опубликованный Американским советом по дереву (AWC), является полезным справочником для тех, кто имеет базовые представления о конструкции балки.

APA публикует руководство по проектированию клееного бруса («клееного бруса»), свойства которого аналогичны балкам из LVL. Что еще более важно, руководство включает в себя общие сведения, применимые ко всем деревянным балкам.

Обратите внимание, что, как и почти во всех подобных руководствах по проектированию, таблицы применимы только для равномерной нагрузки. Также для завершения проектирования необходимо выполнить дополнительные расчеты, такие как опорные напряжения в опорах (для балки и опоры) и поперечная устойчивость.

Деревянные балки двутаврового типа

Производители деревянных балок двутаврового типа публикуют рекомендации по проектированию с подробными таблицами, в которых перечислены требуемые размеры балок для различных условий нагрузки и пролета. Хотя таблицы очень полезны для простой равномерной нагрузки, их нельзя использовать для более сложных условий нагрузки без тщательного анализа.

Программное обеспечение для проектирования балок

Для проектирования балок доступно множество программ. Однако, как и для любой программы, качество результатов зависит от качества ввода. Игнорирование только одного важного фактора приведет к неверным результатам.

Расчет деревянных балок по EN 1995-1-1:2004

Деревянные балки представляют собой гибкие горизонтальные деревянные элементы, которые используются для обрамления открытого пространства в здании для поддержки пола или обшивки. Обычно они расположены близко друг к другу (обычно между 400 – 800 мм) с плоскостью максимальной прочности, расположенной вертикально.

Пролеты балок обычно поддерживаются или перехватываются блокировками, которые могут быть линейными или косыми (в шахматном порядке). Деревянные балки передают нагрузку от пола на вертикальные сжимающие элементы (такие как деревянные колонны) и могут быть изготовлены из цельной древесины, клееного бруса или других изделий из древесины.

Ожидается, что конструкция деревянных балок, являющихся изгибаемыми элементами конструкции, будет удовлетворять следующим требованиям:

1. Изгиб
2. ножницы
3. Подшипник
4. Боковой изгиб
5. Отклонение и
6. вибрация

Пример конструкции деревянных балок

В данной статье рассчитаем балки деревянного перекрытия жилого дома из древесины класса прочности С24 на средневременное постоянное воздействие 0.75 кН/м 2 и переменную (постоянную) нагрузку 1.5 кН/м 2 с учетом того, что :

а) ширина этажа, b, составляет 3.6 м, пролет пола, l, составляет 3.0 м
б) балки располагаются на расстоянии 600 мм от центра.
в) длина подшипника 100 мм

Собственный вес бруса = 3.4335 кН/м 3 x 0.15м x 0.05м = 0.0257 кН/м
Характерное постоянное воздействие на каждую балку = 0.75 кН/м 2 x 0.6 м = 0.45 кН/м
Суммарная характеристика постоянного действия g_k = 0.476 кН/м

Общее действие переменной характеристики q_k = 1.5 кН/м 2 x 0.6 м = 0.9 кН/м

В конечном состоянии; п_Ed = 1.35 г_k + 1.5к_k = 1.9926 кН/м
В предельном состоянии p_Ed = 1.0 г_k + 1.0к_k = 1.376 кН/м

Структурный анализ

Структурный дизайн

Член – Пролет 1
Частный коэффициент для свойств материала и сопротивлений
Частный коэффициент для свойств материала (таблица 2.3 EN 1995-1-1:2004); γ_M = 1.300

Детали участника
Продолжительность нагрузки (п.2.3.1.2 ЭК5); Средняя степень
Класс обслуживания – (п.2.3.1.3 ЭК5); 2

Детали раздела пиломатериалов
Количество деревянных секций в элементе; Н = 1
Ширина секций; б = 50 mm
Глубина секций; ч = 150 mm
Класс прочности древесины – EN 338:2016 Таблица 1; C24

Свойства деревянного профиля 50 x 150 мм
Площадь поперечного сечения, А = 7500 мм 2
Момент сопротивления, Вт_y = 187500 мм 3
Момент сопротивления, Wz = 62500 мм 3
Второй момент площади, I_y = 14062500 мм 4
Второй момент площади, I_z = 1562500 мм 4
Радиус вращения, i_y = 43.3 мм
Радиус вращения, i_z = 14.4 мм

Класс прочности древесины С24
Характеристическая прочность на изгиб, f_тк = 24 Н/мм 2
Характеристическое сопротивление сдвигу, f_вк = 4 Н/мм 2
Характеристическая прочность на сжатие параллельно волокнам, f_с.0.к = 21 Н/мм 2
Характеристическая прочность на сжатие перпендикулярно волокнам, f_с.90.к = 2.5 Н/мм 2
Характеристическая прочность на растяжение параллельно волокнам, f_т.0.к = 14.5 Н/мм 2
Средний модуль упругости, Е_{0.среднее} = 11000 Н/мм 2
Модуль упругости пятого процентиля, E_0.05 = 7400 Н/мм 2
Модуль упругости сдвига, Г_{значить} = 690 Н/мм 2
Характеристическая плотность, г_k = 350 кг/м 3
Средняя плотность, г_{значить} = 420 кг/м 3

Рассмотрим комбинацию 1 — 1.35G_k + 1.5 кв._k (Прочность)

Факторы модификации
Продолжительность нагрузки и влажность – таблица 3.1; к_модуль = 0.8
Коэффициент деформации – таблица 3.2; к_защиту = 0.8
Коэффициент перераспределения изгибающих напряжений – п.6.1.6(2); к_m = 0.7
Коэффициент трещиностойкости по сопротивлению сдвигу – п.6.1.7(2); к_cr = 0.67
Коэффициент конфигурации нагрузки – п.6.1.5(4); к_{в, 90} = 1.5
Коэффициент прочности системы – п.6.6; к_{системы} = 1.1

В начале пролета

Проверить сжатие перпендикулярно волокнам (п.6.1.5 EC5).)
Расчетное перпендикулярное сжатие – большая ось; Ф_{в, г, 90, г} = 2.394 kN
Эффективная длина контакта; л_{б, эф} = л_b = 100 mm

Расчетное перпендикулярное сжимающее напряжение – упр.6.4; с_{в, г, 90, г} = Ф_{в, г, 90, г} / (б × Д_{б, эф}) = 0.479 Н / мм 2
Расчетная перпендикулярная прочность на сжатие; ф_{в, г, 90, г} = к_модуль × к_{системы} × ф_с.90.к / γ_M = 1.692 Н / мм 2
s_{в, г, 90, г} / (к_{в, 90} × ф_{в, г, 90, г}) = 0.189

ПАСС – Расчетная прочность на сжатие в перпендикулярном направлении превышает расчетное напряжение на сжатие в перпендикулярном направлении

Проверьте усилие сдвига (раздел 6.1.7). EC5)
Расчетное усилие сдвига; Ф_{у, д} = 2.394 kN

Расчетное касательное напряжение – exp.6.60; т_{у, д} = 1.5 × F_{у, д} / (к_cr × б × ч) = 0.714 Н / мм 2
Расчетная прочность на сдвиг; ф_{в, г, д} = к_модуль × к_{системы} × ф_вк / γ_M = 2.708 Н / мм 2

t_{у, д} / ф_{в, г, д} = 0.264
ПАСС – Расчетная прочность на сдвиг превышает расчетное напряжение сдвига

В конце пролета

Проверить сжатие перпендикулярно волокнам – п.6.1.5
Расчетное перпендикулярное сжатие – большая ось; Ф_{в, г, 90, г} = 6.572 kN

Эффективная длина контакта; л_{б, эф} = л_b = 100 mm

Расчетное перпендикулярное сжимающее напряжение – расч.6.4;с_{в, г, 90, г} = Ф_{в, г, 90, г} / (б × Д_{б, эф}) = 1.314 Н / мм 2
Расчетная перпендикулярная прочность на сжатие; ф_{в, г, 90, г} = к_модуль × к_{системы} × ф_с.90.к / γ_M = 1.692 Н / мм 2

s_{в, г, 90, г} / (к_{в, 90} ´ ф_{в, г, 90, г}) = 0.518
ПАСС – Расчетная прочность на сжатие в перпендикулярном направлении превышает расчетное напряжение на сжатие в перпендикулярном направлении

Проверить поперечную силу – Раздел 6.1.7
Расчетное усилие сдвига; Ф_{у, д} = 3.583 kN
Расчетное касательное напряжение – exp.6.60; т_{у, д} = 1.5 × F_{у, д} / (к_cr × б × ч) = 1.070 Н / мм 2
Расчетная прочность на сдвиг; ф_{в, г, д} = к_модуль × к_{системы} × ф_вк / γ_M = 2.708 Н / мм 2

t_{у, д} / ф_{в, г, д} = 0.395
ПАСС – Расчетная прочность на сдвиг превышает расчетное напряжение сдвига

Проверить изгибающий момент – раздел 6.1.6
расчетный изгибающий момент; М_{у, д} = 1.784 кНм
Расчетное напряжение изгиба; с_{м, г, д} = М_{у, д} / W_y = 9.517 Н / мм 2

Расчетная прочность на изгиб; ф_{м, г, д} = к_модуль × к_{системы} × ф_тк / γ_M = 16.246 Н / мм 2

s_{м, г, д} / ф_{м, г, д} = 0.586
ПАСС – Расчетная прочность на изгиб превышает расчетное напряжение на изгиб

Предельное состояние пригодности к эксплуатации

Рассмотрим комбинацию 2 — 1.0G_k + 1.0 кв._k (Услуга)
Проверьте отклонение оси yy – Раздел 7.2
Мгновенное отклонение; г_y = 5.3 mm

Квазипостоянный переменный коэффициент нагрузки; у₂ = 0.3
Окончательный прогиб с ползучестью; д_{г, окончательный} = 0.5 × д_y × (1 + к_защиту) + 0.5 × d_y × (1 + у₂ × к_защиту) = 8.1 mm

Допустимый прогиб; г_{у, допустимый} = л / 250 = 12 mm
d_{г, окончательный} / д_{у, допустимый} = 0.676

Поэтому окончательный прогиб допустим.

Также типично проверять пол на вибрацию, но в данном проекте это не учитывалось.

Калькулятор прогиба балки

Этот калькулятор прогиба балки поможет вам определить максимальный прогиб свободно опертых балок и консольных балок, несущих простые конфигурации нагрузки. Вы можете выбрать один из нескольких типов нагрузки, которые могут воздействовать на балку любой длины. Величина и расположение этих нагрузок влияют на то, насколько сильно изгибается балка. В этом калькуляторе отклонения луча вы узнаете о различных формулы прогиба балки используется для расчета прогибов свободно опертой балки и прогибов консольной балки. Вы также узнаете, как модуль упругости и его момент инерции поперечного сечения влияют на вычисленное максимальное отклонение балки.

Прогиб балки является важной частью анализа балки, но еще одной важной частью является анализ напряжений. Мощным инструментом для изучения напряжений изгиба балки является модуль сопротивления, который можно рассчитать с помощью нашего калькулятора модуля сечения.

Что такое прогиб и изгиб балки

В строительстве мы обычно используем каркасные конструкции которые удерживаются фундаментом в земле. Эти каркасные конструкции подобны каркасам зданий, домов и даже мостов. В кадре мы называем вертикальное кадрирование столбцы, а горизонтальные балки. Балки — это длинные элементы конструкции, которые несут нагрузки, создаваемые горизонтальными плитами конструкций, такими как сплошные бетонные полы, деревянные балочные системы полов и крыши.

Когда балки несут слишком тяжелые для них нагрузки, они начинают прогибаться. Назовем величину изгиба балки отклонение луча. Прогиб балки — это вертикальное смещение точки вдоль центра тяжести балки. Мы также можем рассматривать поверхность балки в качестве нашей точки отсчета, если во время изгиба нет изменений высоты или глубины балки.

Как рассчитать максимальное отклонение балки

Мы снабдили наш калькулятор прогиба балки формулами, которые инженеры и студенты-инженеры используют для быстрого определения максимального прогиба конкретной балки из-за нагрузки, которую она несет. Однако эти формулы могут решать только простые нагрузки и их комбинации. Мы составили для вас эти формулы, как показано ниже:

Формулы прогиба балки без опоры

Формулы прогиба консольной балки

Метод суперпозиции

Для расчета максимального прогиба балки при сочетании нагрузок можно использовать метод суперпозиции. Метод суперпозиции утверждает, что мы можем аппроксимировать полное отклонение балки, суммируя все отклонения, вызванные каждой конфигурацией нагрузки. Однако этот метод дает нам только приблизительное значение фактического максимального отклонения. Расчет сложных нагрузок потребовал бы от нас использования так называемого метод двойного интегрирования.

Жесткость балки

Для расчета отклонения балки необходимо знать жесткость балки и количество силы или нагрузки, которая может повлиять на изгиб балки. Мы можем определить жесткость балки, умножив ее модуль упругости, Е, по его момент инерции, я. Модуль упругости зависит от материала балки. Чем выше модуль упругости материала, тем больше прогиб может выдержать огромные нагрузки, прежде чем он достигнет предела прочности. Модуль упругости бетона составляет от 15 до 50 ГПа (гигапаскалей), в то время как у стали около 200 ГПа и выше. Эта разница в значениях модуля упругости показывает, что бетон может выдерживать только небольшое отклонение и растрескивается раньше, чем сталь.

Вы можете узнать больше о модуле упругости, ознакомившись с нашим калькулятором напряжения. С другой стороны, чтобы определить момент инерции для определенного поперечного сечения балки, вы можете посетить наш калькулятор момента инерции. Момент инерции представляет собой величину сопротивления материала вращательному движению. Момент инерции зависит от размеров поперечного сечения материала.

Момент инерции также меняется в зависимости от того, вдоль какой оси вращается материал. Чтобы лучше понять эту концепцию, давайте рассмотрим поперечное сечение прямоугольного бруса шириной 20 см и высотой 30 см. Используя формулы, которые вы также можете увидеть в нашем калькуляторе момента инерции, мы можем рассчитать значения момента инерции поперечного сечения этой балки следующим образом:

Iₓ = ширина × высота³ / 12
= 20 × (30³)/12
= 45,000 XNUMX см⁴

Iᵧ = высота × ширина³ / 12
= 30 × (20³)/12
= 20,000 XNUMX см⁴

Обратите внимание на два значения момента инерции. Это потому, что мы можем считать, что луч изгибается вертикально вдоль пролет балки (или испытывать изгибающий момент около ось х) и сбоку по пролету балки (или согнуть вокруг оси Y). Так как мы рассматриваем прогиб балки при ее изгибе вертикально или вокруг оси x, мы должны использовать яₓ для наших расчетов. Полученные нами значения момента инерции говорят нам о том, что балка труднее изгибается при вертикальной нагрузке и легче изгибается при горизонтальной поперечной нагрузке. Эта разница в значениях момента инерции является причиной того, что мы видим балки в такой конфигурации, где их высота больше, чем их ширина.

Понимание формул отклонения балки

Теперь, когда мы знаем понятия модуля упругости и момента инерции, мы теперь можем понять, почему эти переменные являются знаменателями в наших формулах прогиба балки. Из формул видно, что чем жестче балка, тем меньше будет ее прогиб. Однако, изучив наши формулы, мы также можем сказать, что длина балки также напрямую влияет на отклонение балки. Чем длиннее становится балка, тем больше она может изгибаться и тем больше может быть отклонение.

С другой стороны, нагрузки влияют на прогиб балки двумя способами: направление отклонения и величина отклонения. Нагрузки, направленные вниз, имеют тенденцию отклонять балку вниз. Нагрузки могут быть в виде одноточечной нагрузки, линейного давления или мгновенной нагрузки. Формулы в этом калькуляторе ориентированы только на направление вниз или вверх для точечной нагрузки и распределенной нагрузки. Распределенные нагрузки аналогичны давлению, но учитывают только длину балки, а не ширину балки. Формулы в этом калькуляторе также учитывают момент или крутящий момент нагрузки по часовой стрелке или против часовой стрелки. Просто сверьтесь с направлениями стрелок на соответствующем изображении формулы, чтобы выяснить, какие направления имеют положительное значение нагрузки.

Пример расчета прогиба балки

Для примера расчета прогиба балки рассмотрим простую деревянную скамью с ножками, расположенными на расстоянии 1.5 м друг от друга в их центрах. Допустим, у нас есть доска из восточной белой сосны толщиной 4 см и шириной 30 см, которая служит сиденьем для этой скамьи. Мы можем рассматривать это сиденье как балку, которая будет отклоняться всякий раз, когда кто-то садится на скамейку. Зная размеры этого сиденья, мы можем рассчитать его момент инерции, как в нашем примере выше. Поскольку нам нужно рассчитать Iₓ, его момент инерции будет:

Iₓ = ширина * высота³ / 12
= 30*(4³)/12
= 160.0 см⁴ или 1.6×10⁻⁶ м⁴

Сосна белая восточная имеет модуль упругости 6,800 МПа (6.8×10⁹ Па), это значение мы получили из Справочника по дереву. Вы также можете легко получить значение модуля упругости для других материалов, таких как сталь и бетон, в Интернете или в местной библиотеке. Теперь, когда мы знаем эти значения, давайте рассмотрим нагрузку, которую будет нести эта скамья. Предположим, что в середине скамьи сидит ребенок с усилием 400 Н. Теперь мы можем рассчитать прогиб сиденья скамьи из-за точечной нагрузки в его центре:

δₘₐₓ = P * L³ / (48 * E * I)
δₘₐₓ = (400 Н) * (1.5 м)³ / (48 * 6.8×10⁹ Па * 1.6×10⁻⁶ м⁴)
δₘₐₓ = 0.002585 м = 2.5850 мм

Это означает, что многоместное сиденье будет провисать. Миллиметры 2.6 от исходного положения, когда ребенок сидит посередине скамьи.

Если вы нашли эту тему интересной и хотели бы узнать больше о прочности материалов, вам также может понравиться наш калькулятор коэффициента безопасности. Вы также можете воспользоваться нашим конвертером силы, если хотите изучить различные единицы, используемые в точечных нагрузках и при расчете сил.